خسته کننده ترین اعداد دنیا! ، عدد مورد علاقه شما چند است؟ - وبلاگ سفر

به گزارش وبلاگ سفر، یک دایره المعارف جامع از توالی اعداد، ابزاری برای آنالیز این دو مقوله متضاد را فراهم می نماید. نیل اسلون، ریاضیدان، در سال 1963، زمانی که در حال نوشتن خاتمه نامه دکترای خود بود، ایده چنین توالی ای را در فکر داشت. در آن موقع او باید مقادیر را در یک نوع نمودار به نام شبکه درختی محاسبه می کرد و در حین انجام این کار به رشته ای از اعداد برخورد کرد: 0، 1، 8، 78، 944، ...، ولی نمی دانست دقیقا چگونه اعداد موجود در این دنباله را محاسبه کند.

عدد مورد علاقه شما چیست؟ بسیاری از مردم ممکن است در پاسخ به این سوال یک عدد نامتعارف را در فکر داشته باشند، اعدادی مانند عدد پی (π)، عدد اویلر (e) یا جذر یک عدد با ریشه 2.

اینکه اعداد اول (اعداد طبیعی بزرگتر از یک) و اعداد با پایه 2، افراد زیادی را جذب خود می نمایند جای تعجب ندارد. در واقع، تمام اعداد به دو دسته تقسیم می شوند: اعداد جالب و اعداد خسته نماینده.

(لازم به شرح است که یک عدد مثبت زمانی خسته نماینده نام می گیرد که تمام ارقام آن در موقعیت های زوج، عدد زوج و همه ارقام در موقعیت های فرد، فرد باشند. ارقام از چپ به راست با آغاز از یک شمرده می شوند).

اما حتی در میان اعداد طبیعی، می توانید مقادیری را پیدا کنید که در زمینه های اجتماعی مختلف نیز با آن ها روبرو می شوید: هفت کوتوله، هفت گناه مرگبار، عدد 13به عنوان عدد بد شانسی، و عدد42 که با رمان راهنمای مسافران مجانی کهکشان اثر داگلاس آدامز رایج شد.

اما در خصوص اعداد بزرگتری مانند 1729 چطور؟ مطمئناً این عدد برای بیشتر مردم هیجان انگیز به نظر نمی رسد. این عدد در نگاه اول، کاملا خسته نماینده به نظر می رسد.

زیرا نه یک عدد اول است، نه توان عدد2 و نه مربع یک عدد. بعلاوه این ارقام از هیچ الگوی واضحی پیروی نمی نمایند. این همان چیزی است که گادفری هارولد هاردی، ریاضیدان (1877-1947) هنگامی که سوار تاکسی با شماره پلاک 1729 شد، به آن فکر کرد.

در آن موقع، او می خواست به دیدار همکار خود سرینیواسا رامانوجان (1887-1920) برود که در بیمارستان بستری بود. هاردی به دوست خود درباره شماره پلاک خسته نماینده تاکسی گفت. هاردی امیدوار بود که این عدد نشانه یک فال بد نباشد. به همین علت رامانوجان بلافاصله با دوستش مخالفت کرد و گفت: اتفاقا این عدد بسیار جالب است.

این کوچکترین عددی است که به صورت مجموع دو عدد مکعب به دو روش مختلف قابل بیان است. اکنون ممکن است فکر کنید که در این صورت آیا اصلاً عددی وجود دارد که جالب نباشد. این سوال به سرعت منجر به ایجاد یک پارادوکس می گردد: اگر واقعاً یک میزان عددی مانند n وجود داشته باشد، این واقعیت که این عدد خاصیت هیجان انگیزی ندارد، آن را خاص می نماید. اما در واقع برای تعیین ویژگی های جالب یک عدد، روش های کاملاً عینی وجود دارد؛ تحقیقات اجرا شده به وسیله ریاضیدانان در سال 2009 بسیار شگفت انگیز بود و نشان داد که اعداد طبیعی (اعداد صحیح مثبت) به دو بخش کاملاً تعیین تقسیم می شوند: اعداد هیجان انگیز و اعداد خسته نماینده.

دایره المعارف توالی اعداد

یک دایره المعارف جامع از توالی اعداد، ابزاری برای آنالیز این دو مقوله متضاد را فراهم می نماید. نیل اسلون، ریاضیدان، در سال 1963، زمانی که در حال نوشتن انتها نامه دکترای خود بود، ایده چنین توالی ای را در فکر داشت. در آن موقع او باید مقادیر را در یک نوع نمودار به نام شبکه درختی محاسبه می کرد و در حین انجام این کار به رشته ای از اعداد برخورد کرد: 0، 1، 8، 78، 944، ...، ولی نمی دانست دقیقا چگونه اعداد موجود در این دنباله را محاسبه کند. او دوست داشت بداند که آیا همکارانش قبلاً در طول تحقیقات خود به دنباله مشابهی برخورد نموده بودند یا خیر.

اما برخلاف لگاریتم ها یا فرمول ها، هیچ چیز ثبت شده ای برای دنباله اعداد وجود نداشت؛ و به این ترتیب، 10 سال بعد، اسلون اولین دایره المعارف خود به نام کتاب راهنمای دنباله اعداد صحیح را منتشر کرد که شامل حدود 2400 دنباله بود و در انجام محاسبات خاص نیز مفید بود. این کتاب با استقبال زیادی روبرو شد. به گفته اسلون یکی از خوانندگان مشتاق این کتاب برای او نوشته: تنها سه کتاب وجود دارد، عهد عتیق، عهد تازه و کتاب راهنمای توالی اعداد صحیح.

در سال های بعد، توالی های بیشتری برای اسلون ارسال شد و مقالات علمی با موضوع توالی اعداد تازه منتشر شدند. در سال 1995، این ریاضیدان به همراه همکارش سیمون پلوف، دایره المعارف توالی اعداد صحیح را منتشر کردند که شامل 5500 دنباله بود. فراوری محتوا در این زمینه به طور بی وقفه ادامه داشت، اما اینترنت امکان کنترل این حجم بالا از داده ها را فراهم کرد: در سال 1996، دایره المعارف آنلاین توالی اعداد صحیح (OEIS) به شکلی ظاهر شد که هیچ گونه محدودیتی در تعداد توالی هایی که می توان ثبت کرد، وجود نداشت.

این سایت، تنها در مارچ 2023، بیش از 360 هزار ورودی داشته است. هر کسی می تواند اطلاعات را ارسال کند: هر شخصی که یک ورودی را ثبت می نماید، فقط باید شرح دهد که چگونه این دنباله ایجاد شده و از چه جهت جالب است، بعلاوه افراد باید مثال هایی برای شرح چند عبارت اول ارائه دهند. پس از آن، داوران ورودی ها را آنالیز نموده و در صورت داشتن معیارها، آن را منتشر می نمایند.

علاوه بر توالی های معروف مانند اعداد اول (2،3،5،7،11،000)، توان های عدد 2 (2،4،8،16،32،000) و یا توالی فیبوناچی (1،1،2،3،5،8،13،000)، کاتالوگ OEIS شامل نمونه های عجیبی نیز هست.

مثلا تعداد روش های ساخت یک برج پایدار از n (تعداد ناتعیین) قطعه لگو دو در چهار، یا توالی غذا برای تنبل ها (lazy caterers sequence)، حداکثر تعداد قطعاتی که می توانیم با n برش مستقیم از یک پای یا پیتزا بدست آوریم.

از آنجایی که توالی های ارسالی اعداد، به وسیله حدود 130 نفر آنالیز می شوند و این فهرست چندین دهه است که وجود دارد و از طرف جامعه ریاضی دانان به خوبی شناخته شده است، این مجموعه قرار است به عنوان یک انتخاب هدف از همه توالی ها در نظر گرفته گردد. این باعث می گردد کاتالوگ OEIS محبوبیت زیادی برای مطالعه توالی اعداد داشته باشد. بر این اساس، هر چقدر که یک عدد بیشتر در فهرست ظاهر گردد، جالب تر خواهد بود.

این نظر فیلیپ گوگلیمتی بود که وبلاگ فرانسوی زبان دکتر گولو را اداره کند. گوگلیمتی، در یک پست ادعای یک معلم سابق ریاضی را که عدد 1548 را عددی دلخواه و بدون هیچ خاصیتی بیان نموده بود آنالیز نموده و می گوید که در واقع این عدد 326 بار در کاتالوگ OEIS آمده است. هاردی هم اشتباه کرد که شماره پلاک 1729 را عددی خسته نماینده و بی خاصیت نامید:، زیرا این عدد 918 بار در پایگاه داده ها ظاهر شده است (و بعلاوه در برنامه تلویزیونی Futurama نیز چندین بار آمده است!)

بنابراین گوگلیمیتی آغاز به تحقیق درباره اعدادی که واقعا خسته نماینده هستند کرد، یعنی اعدادی که به ندرت در کاتالوگ OEIS ظاهر می شوند. یکی از این موارد عدد 20067 است.

از ماه مارس، این کوچکترین عددی است که در هیچ یک از توالی های عددی که وارد سیستم شده اند دیده نشده است. (علت آن این است که پایگاه داده ها فقط 180 کاراکتر اول یک دنباله اعداد را ذخیره می نماید، در غیر اینصورت همه اعداد در فهرست اعداد صحیح مثبت OEIS ظاهر خواهند شد.) در حالی که عدد 20067، یک عدد خسته نماینده به نظر می رسد، عدد 20068 که فقط یک عدد بیشتر است، 6 بار در این پایگاه داده ها آمده است.

اما قانون جهانی برای طبقه بندی اعداد خسته نماینده وجود ندارد. شاید زمانی که این مقاله در حال نگارش است، دنباله اعدادی کشف گردد که عدد 20067، جزء 180 کاراکتر اول آن باشد. با این وجود، ورودی های OEIS معیاری مناسب برای سنجش جالب بودن یک عدد مشخص است.

گوگلیمتی تعداد همه ورودی های اعداد طبیعی را به ترتیب به دست آورد و نتیجه را به صورت گرافیکی ترسیم کرد. او توانست ابری از نقاط را به شکل یک منحنی وسیع به دست آورد که شیب آن به سمت مقادیر بزرگ زیاد می گردد. این موضوع تعجب آور نیست، زیرا فقط اولین اعضای یک توالی در کاتالوگ OEIS ذخیره می شوند. اما نکته شگفت آور این است که منحنی از دو نوار تشکیل شده است که با یک فاصله آشکار از هم جدا شده اند؛ بنابراین هر عدد طبیعی ممکن است به تناوب و یا به ندرت در پایگاه داده های OEIS ظاهر شوند.

گولگیمتی که مجذوب این نتیجه شده بود، آن را برای ژان پل دیلا های که یک ریاضیدان است و مقالات او به طور دائم در مجله Pour la Science منتشر می شوند فرستاد. او می خواست بداند که آیا کارشناسان قبلا این پدیده را آنالیز نموده اند یا نه؟ جواب منفی بود، بنابراین دیلا های موضوع را با همکارانش نیکولاس گووریت و هکتور زنیل عنوان کرد و به آنالیز دقیق آن پرداخت.

آن ها از نتایج تئوری اطلاعات الگوریتمی استفاده کردند که پیچیدگی یک عبارت را با طول کوتاه ترین الگوریتمی که عبارت را بیان می نماید، می سنجند. مثلا بیان عدد دلخواه پنج رقمی ای مانند 47934 (توالی ارقام 4،7،9،3،4) سخت تر از عدد 16384 (دو به توان 14) است. طبق این قاعده از تئوری اطلاعات، اعدادی که ویژگی بیشتری دارند، پیچیدگی کمتری نیز دارند.

این بدان معناست که مقادیری که اغلب در کاتالوگ OEIS ظاهر می شوند، احتمالا به سادگی قابل بیان کردن هستند. دیلاهای، گووریت و زنیل توانستند نشان دهند که نظریه اطلاعات، مسیر مشابهی را برای پیچیدگی اعداد طبیعی که در منحنی گولگیمتی نشان داده شده بودند، پیش بینی می نماید. اما این نمی تواند شرحی برای شکاف این منحنی که به یاد نیل اسلون آن را شکاف اسلون می نامند، باشد.

به عقیده این سه ریاضیدان این شکاف ناشی از عوامل اجتماعی است، زیرا افراد برخی از اعداد خاص را ترجیح می دهند. آن ها برای اثبات این موضوع، به انجام کاری پرداختند که با نام شبیه سازی مونته کارلو شناخته می گردد: آن ها تابعی را طراحی کردند که اعداد طبیعی را به اعداد طبیعی دیگر وصل می نماید و این کار به گونه ای انجام می گردد که اعداد کوچک بیشتر از اعداد بزرگتر خروجی دارند. محققان مقادیر تصادفی را در تابع قرار دادند و نتایج را بر اساس فراوانی آن ها ترسیم کردند. این کار یک منحنی درهم و شیبدار، شبیه به داده های کاتالوگ OEIS ایجاد کرد؛ و درست مانند تجزیه و تحلیل تئوری اطلاعات، اثری از شکاف وجود نداشت.

برای درک بهتر اینکه این شکاف چطور ایجاد می گردد باید ببینیم کدام اعداد در کدام نوار قرار می گیرند. برای مقادیر کوچک، شکاف اسلون خیلی تعیین نیست و در حدود 300 عدد است. فقط برای اعداد بزرگتر این شکاف به شکل قابل توجهی باز می گردد: حدود 18 درصد از همه اعداد بین 300 تا 10 هزار در این نوار جالب قرار دارند، در حالیکه 82 درصد به جای مانده جزء اعداد خسته نماینده هستند.

همانطور که تعیین است، نوار اعداد جالب، حدود 95.2 درصد از اعداد مربع و 99.7 درصد از اعداد اول، و بعلاوه 39 درصد از اعداد با ویژگی های عوامل اصلی را شامل می شوند. در حال حاضر، این سه کلاس نزدیک به 88 درصد از گروه اعداد جالب را تشکیل می دهند. مقادیر به جامانده به ترتیب دارای ویژگی های قابل توجهی مانند 1111 یا فرمول های 2 n + 1 و 2 n - 1 هستند.

بر اساس تئوری اطلاعات، اعدادی که باید مورد توجه خاص قرار بگیرند، اعدادی هستند که پیچیدگی کمی دارند، یعنی بیان آن ها آسان است. اما اگر طبق استدلال دیلاهای، گاوریت و زنیل، ریاضی دانان ارزش های خاصی را هیجان انگیزتر از ارزش های دیگر، و با پیچیدگی مساوی بدانند، این می تواند به شکاف اسلون منجر گردد.

به عنوان مثال: 2 n + 1 و 2 n + 2 از نظر تئوری اطلاعات، به یک میزان پیچیده هستند، اما فقط مقادیر فرمول اول در نوار اعداد جالب قرار می گیرد. علت آن این است که چنین اعدادی امکان مطالعه اعداد اول را فراهم می نمایند، و به همین علت است که می توان آن ها در زمینه های دیگر نیز دید؛ بنابراین به نظر می رسد تقسیم بندی اعداد به جالب و خسته نماینده ناشی از قضاوت های ما است، مثلا اهمیت دادن به اعداد اول. اگر می خواهید در پاسخ به سوال: عدد مورد علاقه تان چیست؟ پاسخ واقعاً خلاقانه ای بدهید، می توانید عددی مانند 20067 را انتخاب کنید که هنوز هیچ ورودی در دایره المعارف اسلون ندارد.

منبع: خبرآنلاین